a16z：損失與再平衡，量化“為自動化做市商提供流動性”的成本

作者：Jason Milionis, Ciamac Moallemi, Tim Roughgarden ， Anthony Lee Zhang

自動做市商（AMM）有兩類參與者：交易者，他們用AMM的一種代幣交換另一種代幣（作為一個執行的例子，例如ETH和USDC）；以及流動性提供者（LP），他們首先向AMM提供代幣，一般是為了換取交易費用的份額。

什麼時候作為LP參與才有經濟意義？什麼時候收益超過成本？這種比較的好處是很容易理解的：共享交易費的收入，加上在某些情況下額外的代幣獎勵。這篇文章總結了一種思考成本方面的新方法，它圍繞著一個數量，我們稱之為LVR（“損失與再平衡”，發音正好為“槓桿”）。我們將在下文中詳細介紹LVR及其對LP和AMM設計者的影響，但首先讓我們回顧一下AMM在市場價格演變中的行為。

AMMs中的套利和逆向選擇

自動做市商中的流動性提供者遭受不利選擇的損失，這是作為LP做生意的代價之一。由於提供在給定價格下交易的任何一方（買入或賣出），AMM中的每個LP都有可能在擁有關於代幣市場價格的更好或更多最新資訊的交易者的交易中承擔錯誤的一方。例如，如果ETH在公開市場上的價格突然上升，一個快速的套利者可能會從AMM中買入ETH（以陳舊的、較低的價格），然後在Binance等中心化交易所轉售（以新的、較高的市場價格），將利潤收入囊中。因為AMM中只有兩類參與者，交易者的利潤必須與LP的損失相對應。

為了推理流動性提供的成本，從而為LP的參與決策和AMM設計提供資訊，讓我們從評估過去這個更簡單的問題開始。假設我們剛剛完成了向ETH-USDC AMM提供流動性的工作。事後看來，這是個好主意嗎？假設我們將1個ETH和1000個USDC存入該AMM，並在提款時收到0.5個ETH和2000個USDC。(在大多數AMM中，你得到的回報可能與你投入的不同，這取決於AMM代幣的市場價格在這段時間內的變化）。進一步假設，這是ETH的一個非常好的月份，市場價格在一個月內從1000美元躍升至4000美元。在這種情況下，提供流動性的決定將使你的資金翻倍，從存入時的2000美元價值的投資組合變成提取時的4000美元價值的組合。

這似乎是一個偉大的舉動，但這是馬虎的想法。為AMM提供流動性涉及到在當月持有一定數量的ETH。鑑於ETH的價格在這一個月裡翻了兩番，幾乎任何涉及持有一些ETH的策略在事後看來都是相當不錯的。

更為尖銳和重要的問題是：與所有其他可以“做多ETH”的方式相比，AMM提供流動性的具體策略如何？等於說，拋開純粹由ETH價格演變產生的利潤（或損失）後，這個決定看起來如何？

賭ETH價格上漲的最簡單方法是（等著吧）買入一些ETH並持有。在我們的例子中，這種策略將推動月底的投資組合（仍然是1個ETH和1000美元，但現在ETH價格為4000美元）價值5000美元，比從AMM中提取的整整多了1000美元。這1000美元的差距是一個通常被稱為“無常損失”或“背離損失”的例子。

無效損失的問題

雖然無常損失至少將LP的利潤與參考策略下可能取得的利潤進行了比較，但它未能將AMM LPs所面臨的逆向選擇成本分離出來。為了看到這一點，讓我們改變我們的執行例子，使ETH的價格在月初和月末都是1000美元。在這種情況下，在大多數AMM中，你會拿回與你最初存款相同的代幣組合（實際上是持有），這意味著無常的損失將是零。無論ETH價格整個月保持不變，還是在回到1000美元之前跳來跳去，都是如此。

無常損失對價格軌跡的獨立性（除了其初始值和最終值之外）應該讓你覺得很可疑。例如，我們已經討論過關於AMMs的套利，即交易者以犧牲LPs為代價獲利。那麼，似乎LP的成本應該在AMM套利的機會數量上增加。而且，如果價格保持不變（沒有套利）與價格經常跳動（大量套利），這種機會的頻率是非常不同的。

引入LVR

我們提出了一種新的方式來思考AMM的LP所遭受的成本，其核心是一個我們稱之為LVR（“損失與再平衡”，發音為“槓桿”）的數量。LVR可以用幾種不同的方式來解釋（這通常是一個定義的好跡象）。我們在此強調的是，作為無常損失的替代方法，它使用了一種更合適和細微的參考方法——再平衡。(LVR的另一種解釋是LP在適當地對衝其對ETH價格的市場風險後的損失。還有一種解釋是指套利者可能獲得的最佳利潤）。

再平衡是AMM特有的，所以讓我們在恆定產品做市商（CPMM）的典型特例中介紹它，該特例由Uniswap（v1和v2）聞名。雙代幣CPMM的特例也被稱為 “x*y=k ” curve——保持兩個代幣的儲備，例如x單位的ETH和y單位的USDC。現貨價格（一個無限小的交易價格）被定義為y/x，其效果是使兩個儲備的市場價值相等。(在這個意義上，這樣的AMM有效地執行了一個再平衡策略。）在實踐中，這個現貨價格的定義是隱含的，只允許讓兩個代幣數量的乘積x*y不變的交易。

LVR可以在每筆交易的基礎上進行定義，所以讓我們看一下單筆交易。考慮一個有1個ETH和1000個USDC的CPMM，並假設ETH的市場價格突然從1000美元跳到4000美元。我們期望一些套利者從CPMM中買入0.5個ETH，每ETH的有效價格為2000美元，從而保持x*y不變，同時將現貨價格移動到2000/0.5=4000美元/ETH（並使兩個儲備的市場價值相等，為2000美元）。

下面是參考的再平衡，從1個ETH和1000個USDC的相同初始組合開始：複製CPMM的交易（意味著賣出0.5個ETH，就像CPMM一樣），但以當前市場價格4000美元執行（例如，在Binance上）。因為這個替代策略導致投資組合的價值比CPMM多1000美元（5000美元對4000美元），我們說這個交易的LVR是1000美元。

繼續這個例子，假設ETH的價格突然回落到1000美元。CPMM將回到（套利後）最初的狀態，即1個ETH和1000美元，實際上是以2000美元的每ETH價格買回同樣的0.5ETH。再平衡參考策略複製交易（買入0.5ETH），但以市場價格（1000美元）執行。現在，再平衡策略的投資組合的市場價值比CPMM多了1500美元（3500美元對2000美元），第二筆交易為累積的LVR額外貢獻了500美元。

這種計算方式在直覺上是令人滿意的：與無常損失不同，LVR取決於價格軌跡（如果價格保持不變，LVR為0，但如果價格跳升後又回落，則LVR為0），並且逐筆交易累積（因為每筆交易都可能是錯誤的，導致額外的逆向選擇成本）。

LVR：一個一般的定義

在看過前面的例子後，LVR的一般定義應該不會讓你感到驚訝：給定一個任意的AMM上的任意交易序列，該序列的LVR是通過AMM而不是在公開市場上執行交易所產生的損失之和。這個總和的每一項都是a(p-q)的形式，其中a表示交易中出售的ETH數量（例如，在我們上面的第一次和第二次交易中，0.5和-0.5），p表示當時的市場價格（上面是4000和1000），q表示AMM交易的每單位價格（上面是2000和2000）。

該定義的一個變體是定期（如每小時或每天）進行再平衡，而不是逐筆交易，實際上是將交易分批進行，並複製每批的淨交易。這種變體可以簡化LVR的實證分析，可以說在上面提到的LVR的對衝解釋中更為自然。

對過去的推理…

LVR隔離了LP所承擔的逆向選擇成本。在事後看來，提供流動性的決定是一個好主意嗎？首先，這個問題可以歸結為所收取的費用是否超過了所遭受的LVR，因此通常很容易使用公開的資料（例如，AMM的交易鏈上記錄和Binance的歷史價格資料）來回答。

…關於未來

為了推理未來而不是過去的LP決策，我們不能直接依賴資料，必須採用一些關於價格可能演變的數學模型。(我們可以使用各種不同的模型，但最自然的出發點可能是金融學中的標準Black-Scholes模型，ETH的價格根據幾何布朗運動（關於一個合適的martingale度量不斷演變。）

如果你不熟悉這個模型，要知道的關鍵是它基本上只有一個重要的引數，即價格波動率σ。如果σ=0，價格保持不變，而如果σ很大，價格就會瘋狂跳動。如果你認為收益是隨機漫步，那麼σ可以寬泛地解釋為典型的長度。

在這個模型中，LVR可以被精確地描述。因為LVR是逐筆交易積累的，而且這是一個連續時間模型，交易一直在發生，LVR積累為瞬時LVR的積分。瞬時LVR與σ和當前市場價格成二次方，並與該價格下AMM的邊際流動性成線性關係。

這種數學特徵聽起來有點嚇人，但許多常見的AMM是如此簡單，以至於LVR是由一個基本的封閉式公式給出的。

例如，對於CPMM來說，當被CPMM的市場價值歸一化時，瞬時LVR正好是σ²/8。插入數字，如果Uniswap v2 ETH-USDC池的日波動率為5%，那麼根據我們的模型，LPs每天損失3.125個基點的LVR（每年大約有11%的損失）。費用收入能否彌補這一損失？答案取決於交易費用和交易量。例如，如果這個AMM收取固定的30個基點的交易費，那麼只要每天的交易量大約是AMM資產的10.4%，LPs就會收支平衡。如果每天的波動率是10%，所需的交易量將是四倍之多。(請記住，LVR與σ成二次函式關係）。

對AMM設計者的影響

LVR不僅對潛在的流動性提供者很重要，對AMM設計者也很重要。一個AMM只有在它有快樂的LP時才能成功，這意味著費用收入需要與LVR成比例。

我們工作的一個含義是，由於LVR取決於波動性，而費用收入取決於交易量，AMM應該考慮隨著交易量、波動性或根據經驗觀察到的LVR而調整的動態費用。其次，AMM的設計者應該研究最小化LVR的方法（以及因此需要的LP激勵），例如通過納入高質量的定價預言機來引用更接近市場的價格。下一代AMM已經在探索這些和相關的想法，我們迫不及待地想看看它是如何發展的。

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關於LVR的更深入的技術分析和討論，請看我們的原始論文（

http://arxiv.org/abs/2208.06046），“自動做市和損失與再平衡”。這裡是Tim Roughgarden在SBC’22上發表的關於LVR的演講（http://a16zcrypto.com/sbc-22-science-of-blockchain-conference-field-notes/）。

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Jason Milionis是哥倫比亞大學計算機科學系的博士生，由Christos Papadimitriou和Tim Roughgarden指導。他對博弈論有廣泛的興趣，特別是與機器學習和非中心化金融（DeFi）相結合。

Ciamac Moallemi是哥倫比亞大學商學院決策、風險和運營部門的William von Mueffling商業教授。

Tim Roughgarden是哥倫比亞大學電腦科學教授和資料科學研究所成員，也是a16z crypto的研究主管。

Anthony Lee Zhang是芝加哥大學布斯商學院的金融學助理教授。他的研究涉及銀行和金融中介、家庭金融、貨幣市場、住房市場和加密貨幣/DeFi等主題。

編輯：Tim Sullivan @tim_org

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編輯於 2022-09-20 04:46