本文總結分類和迴歸任務的常用損失函數，比如重點解析了交叉熵損失函數的由來，並給出詳細計算公式和、案例分析、代碼，同時也描述了 MAE 和 MSE 損失函數，給出了詳細的計算公式、曲線圖及優缺點。

一，損失函數概述

大多數深度學習算法都會涉及某種形式的優化，所謂優化指的是改變 $x$ 以最小化或最大化某個函數 $f(x)$ 的任務，我們通常以最小化 $f(x)$ 指代大多數最優化問題。

在機器學習中，損失函數是代價函數的一部分，而代價函數是目標函數的一種類型。 - 損失函數（loss function）: 用於定義單個訓練樣本預測值與真實值之間的誤差 - 代價函數（cost function）: 用於定義單個批次/整個訓練集樣本預測值與真實值之間的累計誤差。 - 目標函數（objective function）: 泛指任意可以被優化的函數。

損失函數定義：損失函數是深度學習模型訓練過程中關鍵的一個組成部分，其通過前言的內容，我們知道深度學習算法優化的第一步首先是確定目標函數形式。

損失函數大致可分為兩種：迴歸損失（針對連續型變量）和分類損失（針對離散型變量）。

常用的減少損失函數的優化算法是“梯度下降法”（Gradient Descent）。

二，交叉熵函數-分類損失

交叉熵損失(Cross-Entropy Loss) 又稱為對數似然損失(Log-likelihood Loss)、對數損失，二分類時還可稱之為邏輯斯諦迴歸損失(Logistic Loss)。

2.1，交叉熵（Cross-Entropy）的由來

交叉熵損失的由來參考文檔 AI-EDU: 交叉熵損失函數。

1，信息量

信息論中，信息量的表示方式：

《深度學習》（花書）中稱為自信息(self-information) 。 在本文中，我們總是用 $\text{log}$ 來表示自然對數，其底數為 $e$。

$$ I(x_j) = -\log (p(x_j)) $$

• $x_j$：表示一個事件
• $p(x_j)$：表示事件 $x_j$ 發生的概率
• $I(x_j)$：信息量，$x_j$ 越不可能發生時，它一旦發生後的信息量就越大

2，熵

信息量只處理單個的輸出。我們可以用熵（也稱香農熵 Shannon entropy）來對整個概率分佈中的不確定性總量進行量化:

$$ H(p) = - \sum_j^n p(x_j) \log (p(x_j)) $$

則上面的問題的熵是：

$$ \begin{aligned} H(p)&=-[p(x_1) \ln p(x_1) + p(x_2) \ln p(x_2) + p(x_3) \ln p(x_3)] \\ &=0.7 \times 0.36 + 0.2 \times 1.61 + 0.1 \times 2.30 \\ &=0.804 \end{aligned} $$

3，相對熵(KL散度)

相對熵又稱 KL 散度，如果對於同一個隨機變量 $x$ 有兩個單獨的概率分佈 $P(x)$ 和 $Q(x)$，則可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）來衡量這兩個分佈的差異，這個相當於信息論範疇的均方差。

KL散度的計算公式：

$$ D_{KL}(p||q)=\sum_{j=1}^m p(x_j) \log {p(x_j) \over q(x_j)} $$

$m$ 為事件的所有可能性（分類任務中對應類別數目）。$D$ 的值越小，表示 $q$ 分佈和 $p$ 分佈越接近。

4，交叉熵

把上述交叉熵公式變形：

$$ \begin{aligned} D_{KL}(p||q)&=\sum_{j=1}^m p(x_j) \log {p(x_j)} - \sum_{j=1}^m p(x_j) \log q(x_j) \\ &=- H(p(x)) + H(p,q) \end{aligned} $$

等式的前一部分恰巧就是 $p$ 的熵，等式的後一部分，就是交叉熵（機器學習中 $p$ 表示真實分佈（目標分佈），$q$ 表示預測分佈）:

$$ H(p,q) =- \sum_{j=1}^m p(x_j) \log q(x_j) $$

在機器學習中，我們需要評估標籤值 $y$ 和預測值 $a$ 之間的差距熵（即兩個概率分佈之間的相似性），使用 KL 散度 $D_{KL}(y||a)$ 即可，但因為樣本標籤值的分佈通常是固定的，即 $H(a)$ 不變。因此，為了計算方便，在優化過程中，只需要關注交叉熵就可以了。所以，在機器學習中一般直接用交叉熵做損失函數來評估模型。

$$ loss = \sum_{j = 1}^{m}y_{j}\text{log}(a_{j}) $$

上式是單個樣本的情況，$m$ 並不是樣本個數，而是分類個數。所以，對於批量樣本的交叉熵損失計算公式（很重要!）是：

$$ J = -\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{m} y_{ij} \log a_{ij} $$

其中，$n$ 是樣本數，$m$ 是分類數。

公式參考文章-AI-EDU: 交叉熵損失函數，但是將樣本數改為 $n$，類別數改為 $m$。

有一類特殊問題，就是事件只有兩種情況發生的可能，比如“是狗”和“不是狗”，稱為 $0/1$ 分類或二分類。對於這類問題，由於 $m=2，y_1=1-y_2，a_1=1-a_2$，所以二分類問題的單個樣本的交叉熵可以簡化為：

$$ loss =-[y \log a + (1-y) \log (1-a)] $$

二分類對於批量樣本的交叉熵計算公式是：

$$ J= -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n [y_i \log a_i + (1-y_i) \log (1-a_i)] $$

為什麼交叉熵的代價函數是求均值而不是求和? Cross entropy loss is defined as the “expectation” of the probability distribution of a random variable 𝑋, and that’s why we use mean instead of sum. 參見這裏。

2.1.1，熵、相對熵以及交叉熵總結

交叉熵 $H(p, q)$ 也記作 $CE(p, q)$、$H(P, Q)$，其另一種表達公式（公式表達形式雖然不一樣，但是意義相同）: $$H(P, Q) = -\mathbb{E}_{\textrm{x}\sim p}log(q(x))$$

交叉熵函數常用於邏輯迴歸(logistic regression)，也就是分類(classification)。

根據信息論中熵的性質，將熵、相對熵（KL 散度）以及交叉熵的公式放到一起總結如下:

$$ \begin{aligned} H(p) &= -\sum_{j}p(x_j) \log p(x_j) \ D_{KL}(p \parallel q) &= \sum_{j}p(x_j)\log \frac{p(x_j)}{q(x_j)} = \sum_j (p(x_j)\log p(x_j) - p(x_j) \log q(x_j)) \ H(p,q) &= -\sum_j p(x_j)\log q(x_j) \ \end{aligned} $$

2.2，二分類問題的交叉熵

把二分類的交叉熵公式 4 分解開兩種情況： - 當 $y=1$ 時，即標籤值是 $1$ ，是個正例，加號後面的項為: $loss = -\log(a)$ - 當 $y=0$ 時，即標籤值是 $0$，是個反例，加號前面的項為 $0$: $loss = -\log (1-a)$

橫座標是預測輸出，縱座標是損失函數值。$y=1$ 意味着當前樣本標籤值是1，當預測輸出越接近1時，損失函數值越小，訓練結果越準確。當預測輸出越接近0時，損失函數值越大，訓練結果越糟糕。此時，損失函數值如下圖所示。

2.3，多分類問題的交叉熵

當標籤值不是非0即1的情況時，就是多分類了。

假設希望根據圖片動物的輪廓、顏色等特徵，來預測動物的類別，有三種可預測類別：貓、狗、豬。假設我們訓練了兩個分類模型，其預測結果如下:

模型1:

|預測值|標籤值|是否正確| |-----|-----|-------| |0.3 0.3 0.4|0 0 1（豬）|正確| |0.3 0.4 0.4|0 1 0（狗）|正確| |0.1 0.2 0.7|1 0 0（貓）|錯誤|

每行表示不同樣本的預測情況，公共 3 個樣本。可以看出，模型 1 對於樣本 1 和樣本 2 以非常微弱的優勢判斷正確，對於樣本 3 的判斷則徹底錯誤。

模型2:

|預測值|標籤值|是否正確| |-----|-----|-------| |0.1 0.2 0.7|0 0 1（豬）|正確| |0.1 0.7 0.2|0 1 0（狗）|正確| |0.3 0.4 0.4|1 0 0（貓）|錯誤|

可以看出，模型 2 對於樣本 1 和樣本 2 判斷非常準確（預測概率值更趨近於 1），對於樣本 3 雖然判斷錯誤，但是相對來説沒有錯得太離譜（預測概率值遠小於 1）。

結合多分類的交叉熵損失函數公式可得，模型 1 的交叉熵為:

$$ \begin{aligned} \text{sample}\ 1\ \text{loss} = -(0\times log(0.3) + 0\times log(0.3) + 1\times log(0.4) = 0.91 \ \text{sample}\ 1\ \text{loss} = -(0\times log(0.3) + 1\times log(0.4) + 0\times log(0.4) = 0.91 \ \text{sample}\ 1\ \text{loss} = -(1\times log(0.1) + 0\times log(0.2) + 0\times log(0.7) = 2.30 \end{aligned} $$

對所有樣本的 loss 求平均:

$$ L = \frac{0.91 + 0.91 + 2.3}{3} = 1.37 $$

模型 2 的交叉熵為:

$$ \begin{aligned} \text{sample}\ 1\ \text{loss} = -(0\times log(0.1) + 0\times log(0.2) + 1\times log(0.7) = 0.35 \ \text{sample}\ 1\ \text{loss} = -(0\times log(0.1) + 1\times log(0.7) + 0\times log(0.2) = 0.35 \ \text{sample}\ 1\ \text{loss} = -(1\times log(0.3) + 0\times log(0.4) + 0\times log(0.4) = 1.20 \end{aligned} $$

對所有樣本的 loss 求平均:

$$ L = \frac{0.35 + 0.35 + 1.2}{3} = 0.63 $$

可以看到，0.63 比 1.37 的損失值小很多，這説明預測值越接近真實標籤值，即交叉熵損失函數可以較好的捕捉到模型 1 和模型 2 預測效果的差異。交叉熵損失函數值越小，反向傳播的力度越小。

多分類問題計算交叉熵的實例來源於知乎文章-損失函數｜交叉熵損失函數。

2.4，PyTorch 中的 Cross Entropy

PyTorch 中常用的交叉熵損失函數為 torch.nn.CrossEntropyLoss

python class torch.nn.CrossEntropyLoss(weight=None, size_average=None, ignore_index=-100, reduce=None, reduction='elementwise_mean')

1，函數功能:

將輸入經過 softmax 激活函數之後，再計算其與 target 的交叉熵損失。即該方法將 nn.LogSoftmax() 和 nn.NLLLoss()進行了結合。嚴格意義上的交叉熵損失函數應該是 nn.NLLLoss()。

2，參數解釋:

• weight(Tensor)- 為每個類別的 loss 設置權值，常用於類別不均衡問題。weight 必須是 float 類型的 tensor，其長度要於類別 C 一致，即每一個類別都要設置有 weight。
• size_average(bool)- 當 reduce=True 時有效。為 True 時，返回的 loss 為平均值;為 False 時，返回的各樣本的 loss 之和。
• reduce(bool)- 返回值是否為標量，默認為 True。
• ignore_index(int)- 忽略某一類別，不計算其 loss，其 loss 會為 0，並且，在採用 size_average 時，不會計算那一類的 loss，除的時候的分母也不會統計那一類的樣本。

2.4.1，Softmax 多分類函數

注意: Softmax 用作模型最後一層的函數通常和交叉熵作損失函數配套搭配使用，應用於多分類任務。

對於二分類問題，我們使用 Logistic 函數計算樣本的概率值，從而把樣本分成了正負兩類。對於多分類問題，則使用 Softmax 作為模型最後一層的激活函數來將多分類的輸出值轉換為範圍在 [0, 1] 和為 1 的概率分佈。

Softmax 從字面上來説，可以分成 soft 和 max 兩個部分。max 故名思議就是最大值的意思。Softmax 的核心在於 soft，而 soft 有軟的含義，與之相對的是 hard 硬，即 herdmax。下面分佈演示將模型輸出值取 max 值和引入 Softmax 的對比情況。

取max值（hardmax）

假設模型輸出結果 $z$ 值是 $[3,1,-3]$，如果取 max 操作會變成 $[1, 0, 0]$，這符合我們的分類需要，即三者相加為1，並且認為該樣本屬於第一類。但是有兩個不足：

1. 分類結果是 $[1,0,0]$，只保留非 0 即 1 的信息，即非黑即白，沒有各元素之間相差多少的信息，可以理解是“Hard Max”；
2. max 操作本身不可導，無法用在反向傳播中。

引入Softmax

Softmax 加了個"soft"來模擬 max 的行為，但同時又保留了相對大小的信息。

$$ a_j = \text{Softmax}(z_j) = \frac{e^{z_j}}{\sum\limits_{i=1}^m e^{z_i}}=\frac{e^{z_j}}{e^{z_1}+e^{z_2}+\dots+e^{z_m}} $$

上式中:

• $z_j$ 是對第 $j$ 項的分類原始值，即矩陣運算的結果
• $z_i$ 是參與分類計算的每個類別的原始值
• $m$ 是總分類數
• $a_j$ 是對第 $j$ 項的計算結果

和 hardmax 相比，Softmax 的含義就在於不再唯一的確定某一個最大值，而是為每個輸出分類的結果都賦予一個概率值（置信度），表示屬於每個類別的可能性。

下圖可以形象地説明 Softmax 的計算過程。

當輸入的數據 $[z_1,z_2,z_3]$ 是 $[3, 1, -3]$ 時，按照圖示過程進行計算，可以得出輸出的概率分佈是 $[0.879,0.119,0.002]$。對比 max 運算和 Softmax 的不同，如下表所示。

|輸入原始值|MAX計算|Softmax計算| |--------|-------|----------| |$[3, 1, -3]$|$[1, 0, 0]$|$[0.879, 0.119, 0.002]$|

可以看出 Softmax 運算結果兩個特點：

1. 三個類別的概率相加為 1
2. 每個類別的概率都大於 0

下面我再給出 hardmax 和 softmax 計算的代碼實現。

```python

example of the argmax of a list of numbers

from numpy import argmax from numpy import exp

define data

data = [3, 1, -3]

def hardmax(data): """# calculate the argmax of the list""" result = argmax(data) return result

def softmax(vector): """# calculate the softmax of a vector""" e = exp(vector) return e / e.sum()

hardmax_result = hardmax(data)

運行該示例返回列表索引值“0”，該值指向包含列表“3”中最大值的數組索引 [1]。

print(hardmax(data)) # 0

convert list of numbers to a list of probabilities

softmax_result = softmax(data) print(softmax_result) # report the probabilities print(sum(softmax_result)) # report the sum of the probabilitie ```

運行以上代碼後，輸出結果如下:

0

[0.87887824 0.11894324 0.00217852]

1.0

很明顯程序的輸出結果和我們手動計算的結果是一樣的。

Pytorch 中的 Softmax 函數定義如下:

python def softmax(x): return torch.exp(x)/torch.sum(torch.exp(x), dim=1).view(-1,1)

dim=1 用於 torch.sum() 對所有列的每一行求和，.view(-1,1) 用於防止廣播。

2.5，為什麼不能使用均方差做為分類問題的損失函數？

迴歸問題通常用均方差損失函數，可以保證損失函數是個凸函數，即可以得到最優解。而分類問題如果用均方差的話，損失函數的表現不是凸函數，就很難得到最優解。而交叉熵函數可以保證區間內單調。

分類問題的最後一層網絡，需要分類函數，Sigmoid 或者 Softmax，如果再接均方差函數的話，其求導結果複雜，運算量比較大。用交叉熵函數的話，可以得到比較簡單的計算結果，一個簡單的減法就可以得到反向誤差。

三，迴歸損失

與分類問題不同，迴歸問題解決的是對具體數值的預測。解決迴歸問題的神經網絡一般只有只有一個輸出節點，這個節點的輸出值就是預測值。

迴歸問題的一個基本概念是殘差或稱為預測誤差，用於衡量模型預測值與真實標記的靠近程度。假設迴歸問題中對應於第 $i$ 個輸入特徵 $x_i$ 的標籤為 $y^i = (y_1,y_2,...,y_M)^{\top}$，$M$ 為標記向量總維度，則 $l_{t}^{i}$ 即表示樣本 $i$ 上神經網絡的迴歸預測值 ($y^i$) 與其樣本標籤值在第 $t$ 維的預測誤差(亦稱殘差):

$$ l_{t}^{i} = y_{t}^{i} - \hat{y}_{t}^{i} $$

常用的兩種損失函數為 $\text{MAE}$（也叫 L1 損失） 和 $\text{MSE}$ 損失函數（也叫 L2 損失）。

3.1，MAE 損失

平均絕對誤差（Mean Absolute Error，MAE）是用於迴歸模型的最簡單但最強大的損失函數之一。

因為存在離羣值（與其餘數據差異很大的值），所以迴歸問題可能具有本質上不是嚴格高斯分佈的變量。 在這種情況下，平均絕對誤差將是一個理想的選擇，因為它沒有考慮異常值的方向（不切實際的高正值或負值）。

顧名思義，MAE 是目標值和預測值之差的絕對值之和。$n$ 是數據集中數據點的總數，其公式如下: $$ \text{MAE loss} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{N}\sum_{t=1}^{M} |y_{t}^{i} - \hat{y}_{t}^{i}| $$

3.2，MSE 損失

均方誤差（Mean Square Error, MSE）幾乎是每個數據科學家在迴歸損失函數方面的偏好，這是因為大多數變量都可以建模為高斯分佈。

均方誤差計算方法是求預測值與真實值之間距離的平方和。預測值和真實值越接近，兩者的均方差就越小。公式如下:

$$ \text{MSE loss} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{N}\sum_{t=1}^{M} (y_{t}^{i} - \hat{y}_{t}^{i})^2 $$

3.3，Huber 損失

MAE 和 MSE 損失之間的比較產生以下結果：

1. MAE 損失比 MSE 損失更穩健。仔細查看公式，可以觀察到如果預測值和實際值之間的差異很大，與 MAE 相比，MSE 損失會放大效果。 由於 MSE 會屈服於異常值，因此 MAE 損失函數是更穩健的損失函數。

2. MAE 損失不如 MSE 損失穩定。由於 MAE 損失處理的是距離差異，因此一個小的水平變化都可能導致迴歸線波動很大。在多次迭代中發生的影響將導致迭代之間的斜率發生顯著變化。總結就是，MSE 可以確保迴歸線輕微移動以對數據點進行小幅調整。

3. MAE 損失更新的梯度始終相同。即使對於很小的損失值，梯度也很大。這樣不利於模型的學習。為了解決這個缺陷，我們可以使用變化的學習率，在損失接近最小值時降低學習率。
4. MSE 損失的梯度隨損失增大而增大，而損失趨於0時則會減小。其使用固定的學習率也可以有效收斂。

Huber Loss 結合了 MAE 的穩健性和 MSE 的穩定性，本質上是 MAE 和 MSE 損失中最好的。對於大誤差，它是線性的，對於小誤差，它本質上是二次的。

Huber Loss 的特徵在於參數 $\delta$。當 $|y − \hat{y}|$ 小於一個事先指定的值 $\delta $ 時，變為平方損失，大於 $\delta $ 時，則變成類似於絕對值損失，因此其是比較robust 的損失函數。其定義如下:

$$ \text{Huber loss} = \left \lbrace \begin{matrix} \frac12[y_{t}^{i} - \hat{y}{t}^{i}]^2 & |y{t}^{i} - \hat{y}{t}^{i}| \leq \delta \ \delta|y{t}^{i} - \hat{y}{t}^{i}| - \frac12\delta^2 & |y{t}^{i} - \hat{y}_{t}^{i})| > \delta \end{matrix}\right. $$

三種迴歸損失函數的曲線圖比較如下：

代碼來源 Loss Function Plot.ipynb。

三種迴歸損失函數的其他形式定義如下:

3.4，代碼實現

下面是三種迴歸損失函數的 python 代碼實現，以及對應的 sklearn 庫的內置函數。

```python

true: Array of true target variable

pred: Array of predictions

def mse(true, pred): return np.sum((true - pred)**2)

def mae(true, pred): return np.sum(np.abs(true - pred))

def huber(true, pred, delta): loss = np.where(np.abs(true-pred) < delta , 0.5((true-pred)2),deltanp.abs(true - pred) - 0.5(delta*2))

return np.sum(loss)

also available in sklearn

from sklearn.metrics import mean_squared_error from sklearn.metrics import mean_absolute_error ```

參考資料

1. 《動手學深度學習-22.11. Information Theory》
2. 損失函數｜交叉熵損失函數
3. AI-EDU: 交叉熵損失函數
4. 常見迴歸和分類損失函數比較
5. 《PyTorch_tutorial_0.0.5_餘霆嵩》
6. http://pytorch.org/docs/stable/generated/torch.nn.CrossEntropyLoss.html
7. 一文詳解Softmax函數
8. AI-EDU: 多分類函數